Have got более употребительно в British English, чем в American English. Некоторые англичане используют have got для выражения смысла «кратковременного обладания» (Have you got a cold? Yes, I have/ No, I haven’t), а для выражения «привычного обладания» - have - (Do you have many colds?).  Но это различие стирается под американским влиянием:  Do you have a cold? Yes, I do/No, I don’t.

Have got to — означает «должен». Опять же, американцы предпочитают использовать have to, и, в отличие от англичан, не различают «привычную необходимость» (I have to wear special shoes.) и «кратковременную необходимость» (I’ve got to go now). Обычная форма вопроса в American English в данной ситуации будет  Do you have to?, а в British English — Have you got to?